Conjunto Verdade ou Conjunto Solução

O conjunto verdade ou conjunto solução é o conjunto dos valores de U que são raízes da equação, ou seja, são os valores que ao substituírem as incógnitas tornam a equação verdadeira. Indica-se por V ou S.

Para a equação 2x + 4 = 0, cujo conjunto universo é U = { -2, 0, 2 }, temos que destes três elementos apenas o elemento -2 torna a equação verdadeira, pois 2 . (-2) + 4 = 0, temos então que o conjunto verdade ou solução é:

V = { -2 } ou S = { -2 }.

Conjunto Universo

O conjunto universo contém todos valores possíveis para as incógnitas. É indicado pela letra U.

Dada a equação 2x + 4 = 0, tendo sido determinado que a incógnita x só pode assumir os valores -2, 0 e 2, temos então que o conjunto universo desta equação é:

U = { -2, 0, 2 }.

Raiz de uma equação

A igualdade 3x - 5 = x + 15 é uma equação verdadeira quando x = 10, pois neste caso ambos os lados da expressão resultarão no mesmo valor 25, já que 3 . 10 - 5 = 10 + 15, ou seja, 25 = 25. Neste exemplo o número10 é a raiz ou solução da equação, pois ao substituir a incógnita torna a equação verdadeira.

Princípio da igualdade

Uma equação é uma sentença matemática formada por uma igualdade composta por expressões matemáticas contendo ao menos uma incógnita. Cada uma das expressões da igualdade contém coeficientes e incógnitas. Oscoeficientes são os valores determinados. As incógnitas são os valores desconhecidos que dependendo do valor que assumam, podem tornar a equação verdadeira ou falsa.

Uma equação pode possuir inúmeros coeficientes e incógnitas.

A igualdade -8x - 4 = -2x + 14 é um exemplo de equação.

A expressão à esquerda do sinal de igualdade é chamada de primeiro membro. Já a expressão à direita do sinal de igualdade é chamada de segundo membro.

No termo -8x do primeiro membro, o número -8 é um coeficiente e a letra x é uma incógnita.

O termo 14 do segundo membro, por exemplo, é um termo constante, pois não varia em função de qualquer incógnita.

Resolução de equações do 1° grau com duas incógnitas

Antes mesmo de qualquer explicação você pode intuir que a equação x + y = 20 admite várias soluções.

x = 5 e y = 15 é uma das possíveis soluções, já que a soma de 5 com 15 totaliza 20, o que torna a equação verdadeira.

Como a representação de sapatos é realizada pelo conjunto dos números naturais, já que não faria sentido termos sapatos fracionários ou negativos, por exemplo, temos uma solução para qualquer valor de x entre 0 e 20inclusive, desde que y seja igual a 20 - x, por exemplo, se x = 8, então y = 12.

Matematicamente podemos fazer a seguinte representação:

S = {x, y ∈ N | x ≤ 20, y = 20 - x}

Com x e y sendo números naturais, temos 21 soluções possíveis para este problema, no entanto se não houvesse a restrição para números fracionários ou negativos, teríamos infinitas soluções, pois qualquer que fosse o valor arbitrado a x, bastaríamos subtrair tal valor de 20, para encontrarmos o correspondente valor de y que tornasse a equação verdadeira, por exemplo, se arbitrarmos -30 a x, temos que y = 50, pois 20 - (-30) = 50.

A Matemática na Região Mesopotâmica

Atualmente, utilizamos um sistema de numeração baseado em dez algarismos, denominado decimal. Com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 podemos formar qualquer número envolvendo dezenas, centenas, milhares, e assim sucessivamente. Antes mesmo do surgimento desses números, outras formas eram desenvolvidas e utilizadas por civilizações antigas. Por exemplo, os babilônicos, povos da região da Mesopotâmia (atual Iraque), eram detentores de uma incrível habilidade matemática. 

Devido à sua linguagem matemática acessível, dominavam os cálculos e desenvolviam técnicas de resolução de equações quadradas e biquadradas. E no ramo da Geometria, possuíam fórmulas para o cálculo de áreas e volumes de sólidos geométricos. 

Os babilônios, bem como os outros povos da região mesopotâmica, desenvolveram técnicas para resolução de cálculos envolvendo multiplicação e divisão, raiz quadrada e raiz cúbica, valor posicional dos números, e criaram símbolos responsáveis por expressarem números envolvendo unidades e dezenas. A unidade era associada ao símbolo “v” e a dezena ao símbolo “<”. Dessa forma, os números eram escritos pela organização posicional desses símbolos, observe: 

3: vvv 

4: vvv v 

15: < vvv vv 

21: << v 

33: <<< vvv 

48: <<< < vvv vvv vv 

63: <<< <<< vvv 

92: <<< <<< <<< vv 

A Magia dos Números

Antes mesmo do surgimento dos números, os povos se utilizavam de símbolos como ferramentas auxiliares em processos envolvendo contagem. Os vários povos que constituíram civilizações no decorrer da história, buscavam desenvolver técnicas matemáticas capazes de solucionar problemas cotidianos. Entre os povos podemos citar: maias, incas, astecas, sumérios, egípcios, gregos, chineses, romanos, povos da região mesopotâmica, entre outros.

Dentre os estudos surgiram sistemas de numeração, técnicas de contagem, símbolos numéricos, calendários baseados no sistema solar, objetos de contagem como o ábaco, posicionamento numérico e diversas outras descobertas. Os cálculos matemáticos e os mistérios da natureza sempre fascinaram o homem, que buscou e ainda busca nos números, desvendar determinadas situações. O surgimento do sistema de numeração indo-arábico facilitou o crescimento da Matemática e de outras ciências, pois a base decimal facilitava os cálculos numéricos objetivando respostas a algumas situações consideradas incógnitas.

Nos séculos seguintes, a introdução do sistema de base decimal na Europa pelos árabes e os grandes gênios da Matemática despertaram suas habilidades intelectuais para o desenvolvimento de novas técnicas. O surgimento de importantes relações caracterizadas por números constantes como o π (pi) e o Ф (número de ouro) constituíram importantes passos para a ciência dos números. Os mistérios da natureza começavam a ser desvendados e explicados com a ajuda dos mesmos.

Os números constituem o alicerce da Matemática, pois sem estes, ela não teria evoluído como evoluiu. Até hoje, os números intrigam as pessoas ligadas à área de exatas através de situações que conduzem a resultados fascinantes. A criatividade e a habilidade em manobrar os números, levam a um mundo cheio de mistérios e segredos. Observe as seguintes situações:

1 x 8 + 1 = 9
12 x 8 + 2 = 98
123 x 8 + 3 = 987
1234 x 8 + 4 = 9876
12345 x 8 + 5 = 987 65
123456 x 8 + 6 = 987654
1234567 x 8 + 7 = 9876543
12345678 x 8 + 8 = 98765432
123456789 x 8 + 9 = 987654321




1 x 9 + 2 = 11
12 x 9 + 3 = 111
123 x 9 + 4 = 1111
1234 x 9 + 5 = 11111
12345 x 9 + 6 = 111111
123456 x 9 + 7 = 1111111
1234567 x 9 + 8 = 11111111
12345678 x 9 + 9 = 111111111
123456789 x 9 +10= 1111111111



9 x 9 + 7 = 88
98 x 9 + 6 = 888
987 x 9 + 5 = 8888
9876 x 9 + 4 = 88888
98765 x 9 + 3 = 888888
987654 x 9 + 2 = 8888888
9876543 x 9 + 1 = 88888888
98765432 x 9 + 0 = 888888888


1 x 1 = 1
11 x 11 = 121
111 x 111 = 12321
1111 x 1111 = 1234321
11111 x 11111 = 123454321
111111 x 111111 = 12345654321
1111111 x 1111111 = 1234567654321
11111111 x 11111111 = 123456787654321
111111111 x 111111111 = 12345678987654321

A disposição dos números envolvendo as operações da adição e da multiplicação resultaram em sequências numéricas com certo grau de curiosidade, e como diria Pitágoras, um célebre matemático grego: “Os números governam o mundo.”

Conjuntos Numéricos

Os conjuntos são os dos números: naturais, inteiros, racionais, irracionais, reais e complexo.

Para desenvolver a matemática hoje estudada, inúmeras mudanças na organização de todos os conceitos matemáticos foram necessárias. A concepção dos conjuntos numéricos recebeu maior rigor em sua construção com Georg Cantor, que pesquisou a respeito do número infinito. Cantor iniciou diversos estudos sobre os conjuntos numéricos, constituindo, assim, a teoria dos conjuntos.
A construção de todos os conjuntos numéricos que hoje possuímos parte de números inteiros usados apenas para contar até os números complexos que possuem vasta aplicabilidade nas engenharias, nas produções químicas, entre outras áreas.
Definir conjunto é algo tão primitivo que se torna uma tarefa difícil. Entretanto, compreendemos conjunto como uma coleção de objetos, números, enfim, elementos com características semelhantes.
Sendo assim, os conjuntos numéricos são compreendidos como os conjuntos dos números que possuem características semelhantes. Nesta seção, a concepção desses conjuntos será abordada, visando à compreensão dos elementos que constituem cada um dos conjuntos numéricos.
Temos então os seguintes conjuntos numéricos:

• Conjunto dos números Naturais ();
• Conjunto dos números Inteiros ();
• Conjunto dos números Racionais ();
• Conjunto dos números Irracionais ();
• Conjunto dos números Reais ();
• Conjunto dos números Complexos ();

Este último conjunto numérico possui uma seção especial para ele (Números Complexos).

Critérios de Divisibilidade

Um número é considerado divisível por outro quando o resto da divisão entre eles é igual a zero. Para que a divisão entre os números resulte em partes inteiramente iguais, necessitamos ter conhecimento sobre algumas regras de divisibilidade. 

Regras de Divisibilidade 

Divisibilidade por 1 

Todo número é divisível por 1. 

Divisibilidade por 2 

Todo número par é divisível por 2, isto é, todos os números terminados em 0, 2, 4, 6 e 8. 

12:2 = 6 

18:2 = 9 

102:2 = 51 

1024:2 = 512 

10256:2 = 5128 

Divisibilidade por 3 

Um número é divisível por 3 quando a soma de seus algarismos constitui um número divisível por 3. Exemplo: 

66 : 3 = 22, pois 6 + 6 = 12 

60 : 3 = 20, pois 6 + 0 = 6 

81 : 3 = 27, pois 8 + 1 = 9 

558 : 3 = 186, pois 5 + 5 + 8 = 18 

Divisibilidade por 4 

Se os dois últimos algarismos de um número forem divisíveis por 4, então o número é divisível por 4. Para ver se os dois últimos algarismos formam um número divisível por 4, basta verificar se o número é par e sua metade continua par. Os números que possuem zero nas suas últimas duas casas também são divisíveis por 4. 

288 : 4 = 72, 88 é par e a sua metade será par. 

144 : 4 = 36, 44 é par e sua metade será par. 

100 : 4 = 25, pois possui na última e penúltima casa o algarismo 0. 

Divisibilidade por 5 

Todo número terminado em 0 ou 5 é divisível por 5. 

10:5 = 2 

25:5 = 5 

75:5 = 15 

200:5 = 40 

Divisibilidade por 6 

Constitui todos os números divisíveis por 2 e 3 no mesmo instante. 

42 : 6 = 7, pois 42 : 2 = 21 e 42 : 3 = 14 

54 : 6 = 9, pois 54 : 2 = 27 e 54 : 3 = 18 

132 : 6 = 22, pois 132 : 2 = 66 e 132 : 3 = 44 

570: 6 = 95, pois 570 : 2 = 285 e 570 : 3 = 190 

Divisibilidade por 7 

Duplicar o algarismo das unidades e subtrair do resto do número. Se o resultado for divisível por 7, o número é divisível por 7. Exemplo: 

203 : 7 = 29, pois 2*3 = 6 e 20 – 6 = 14 

294 : 7 = 42, pois 2*4 = 8 e 29 – 8 = 21 

840 : 7 = 120, pois 2*0 = 0 e 84 – 0 = 84 

Divisibilidade por 8 

Todo número será divisível por 8 quando terminar em 000, ou os últimos três números forem divisíveis por 8. Exemplo: 

1000 : 8 = 125, pois termina em 000 

1208 : 8 = 151, pois os três últimos são divisíveis por 8 

Divisibilidade por 9 

É todo número em que a soma de seus algarismos constitui um número múltiplo de 9. Exemplo: 

90 : 9 = 10, pois 9 + 0 = 9 

1125 : 9 = 125, pois 1 + 1 + 2 + 5 = 9 

4788 : 9 = 532, pois 4 + 7 + 8 + 8 = 27 

Divisibilidade por 10 

Todo número terminado em 0 será divisível por 10 

100:10 = 10 

50:10 = 5 

10:10 = 1 

2000:10 = 200 

Divisibilidade por 11 

Um número é divisível por 11 nas situações em que a diferença entre o último algarismo e o número formado pelos demais algarismos, de forma sucessiva até que reste um número com 2 algarismos, resultar em um múltiplo de 11. Como regra mais imediata, todas as dezenas duplas (11, 22, 33, 5555, etc.) são múltiplas de 11. 

1342 : 11 = 122, pois 134 – 2 = 132 → 13 – 2 = 11 

2783 : 11 = 253, pois 278 – 3 = 275 → 27 – 5 = 22 

7150: 11 = 650, pois 715 – 0 = 715 → 71 – 5 = 66 

Divisibilidade por 12 

São os números divisíveis por 3 e 4. 

276:12 = 23, pois 276:3 = 92 e 276:4 = 69 

672 : 12 = 56, pois 672 : 3 = 224 e 672 : 4 = 168 

Simplificando Raízes Exatas Utilizando a Fatoração

Dada a seguinte expressão:

Raízes exatas

Aplicando o uso da fatoração para o cálculo de raízes.

Exemplo 1

Exemplo 2

Exemplo 3

Qual a medida da aresta de um cubo que possui volume igual a 729 cm³?

A medida da aresta de um cubo que possui 729 cm³ de volume é igual a 9 cm.

Raízes não exatas

As raízes que não possuírem como resultado um número inteiro positivo, terá como resultado um número irracional. Por exemplo: 

Com o uso de uma calculadora podemos encontrar o resultado.

Simplificação de radicais

Exemplo 1

Simplifique o seguinte radical:

Exemplo 2

Exemplo 3

Para calcularmos outras raízes utilizamos a mesma ideia da raiz quadrada e da raiz cúbica.

Redução de fração ao mesmo denominador

Podemos transformar duas frações que representam quantidades diferentes de um mesmo inteiro, por exemplo, 1/2 e 2/5 em frações com denominadores iguais. Esse processo é conhecido como redução de fração ao mesmo denominador. 

Para reduzir as frações 1/2 e 2/5 ao mesmo denominador devemos encontrar as frações equivalentes a cada uma delas, ou seja, frações diferentes, mas que representam a mesma quantidade. 

1/2 é o mesmo que a metade de um inteiro, pois dividimos o inteiro em 2 partes iguais e consideramos 1, portanto é possível dividir esse mesmo inteiro em partes diferentes e continuar considerando a metade do inteiro, veja: 

Todas essas frações 2/4, 3/6, 4/8 e 5/10 são equivalentes a 1/2, pois representa a mesma quantidade. 

Se pegarmos esse mesmo inteiro utilizado acima e encontrarmos frações equivalentes a 2/5, teremos: 

Como as frações equivalentes a 1/2 e 2/5 foram encontradas levando em consideração o mesmo inteiro, podemos dizer que as frações 1/2 e 2/5 transformadas em um mesmo denominador ficariam respectivamente iguais a 5/10 e 4/10. 

Uma maneira mais prática de reduzir as frações ao mesmo denominador é encontrar o mínimo múltiplo comum (menor múltiplo comum) dos números que representam os denominadores, por exemplo: 

As frações 3/20 e 5/6 possuem os números 20 e 6 como denominadores e o menor múltiplo comum (mmc) entre eles é 60. Assim, o denominador comum das frações 3/20 e 5/6 será 60. 

Depois de encontrar o “novo denominador” temos que dividi-lo pelo “antigo” e multiplicar o resultado pelo numerador, devemos fazer sempre esse processo, pois se mudamos o denominador temos que encontrar um numerador proporcional. Veja como é feito:

 

Cálculo do MMC e do MDC

Os cálculos envolvendo MMC e MDC são relacionados com múltiplos e divisores de um número natural. Entendemos por Múltiplo, o produto gerado pela multiplicação entre dois números. Observe:

Dizemos que 30 é múltiplo de 5, pois 5 * 6 = 30. Existe um número natural que multiplicado por 5 resulta em 30. Veja mais alguns números e seus múltiplos:

M(3) = 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, ...
M(4) = 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, ...
M(10) = 0, 10, 20, 30, 40, 50, 60, ...
M(8) = 0, 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, ...
M(20) = 0, 20, 40, 60, 80, 100, 120, ...
M(11) = 0, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99, ...

Os múltiplos de um número formam um conjunto infinito de elementos.

Divisores

Um número é considerado divisível por outro quando o resto da divisão entre eles é igual a zero. Observe alguns números e seus divisores:

D(10) = 1, 2, 5, 10.
D(20) = 1, 2, 4, 5, 10, 20.
D(25) = 1, 5, 25.
D(100) = 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100.
 

Mínimo Múltiplo Comum (MMC)

O mínimo múltiplo comum entre dois números é representado pelo menor valor comum pertencente aos múltiplos dos números. Observe o MMC entre os números 20 e 30:

M(20) = 0, 20, 40, 60, 80, 100, 120, ....
M(30) = 0, 30, 60, 90, 120, 150, 180, ...

O MMC entre 20 e 30 é equivalente a 60.

Outra forma de determinar o MMC entre 20 e 30 é através da fatoração, em que devemos escolher os fatores comuns de maior expoente e os termos não comuns. Observe:

20 = 2 * 2 * 5 = 2² * 5

30 = 2 * 3 * 5 = 2 * 3 * 5

MMC (20; 30) = 2² * 3 * 5 = 60

A terceira opção consiste em realizar a decomposição simultânea dos números, multiplicando os fatores obtidos. Observe:

Máximo Divisor Comum (MDC)

O máximo divisor comum entre dois números é representado pelo maior valor comum pertencente aos divisores dos números. Observe o MDC entre os números 20 e 30:

D(20) = 1, 2, 4, 5, 10, 20.
D(30) = 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.

O maior divisor comum dos números 20 e 30 é 10.

Podemos também determinar o MDC entre dois números através da fatoração, em que escolheremos os fatores comuns de menor expoente. Observe o MDC de 20 e 30 utilizando esse método.

20 = 2 * 2 * 5 = 2² * 5

30 = 2 * 3 * 5 = 2 * 3 * 5

MDC (20; 30) = 2 * 5 = 10

Exemplo

Vamos determinar o MMC e o MDC entre os números 80 e 120.

MMC

80 = 2 * 2 * 2 * 2 * 5 = 2⁴ * 5
120 = 2 * 2 * 2 * 3 * 5 = 2³ * 3 * 5

MMC (80; 120) = 2⁴ * 3 * 5 = 240

MDC (80; 120) = 2³ * 5 = 40

Adição e subtração de fração

As operações de adição e subtração com fração dependem unicamente do denominador, ou seja, dependem da quantidade de partes que um inteiro foi dividido. Podendo ser iguais ou diferentes, assim diferenciando a resolução.

Quando os denominadores forem iguais devemos somar ou diminuir as partes consideradas do inteiro (numeradores) e conservar as partes que o inteiro foi dividido (denominadores).

1/5 + 2/5 = 3/5, pois somamos os numeradores 1 + 2 e conservamos o denominador 5.

3/4 + 2/4 = 5/4, pois somamos os numeradores 3 + 2 e conservamos o denominador 4.

2/5 – 1/5 = 1/5, pois subtraímos os numeradores 2 -1 e conservamos o denominador 5.

Quando os denominadores forem diferentes é preciso torná-los iguais antes de resolver a operação de adição ou subtração, utilizando as técnicas que a redução de uma fração ao mesmo denominador oferece.

Para resolver 1/5 + 2/10 é preciso que encontremos o mmc de 5 e 10 (os denominadores diferentes das frações) que será o próprio 10. Encontrando assim as respectivas frações equivalentes 2/10 e 2/10. Com essas frações efetuamos a soma:

2/10 + 2/10 = 4/10, portanto 1/5 + 2/10 = 4/10.

Na operação de subtração o processo é o mesmo, só irá diferenciar-se ao operar.

Fração

Aprenda a utilizar a fração.

Fração é a representação da parte de um todo (de um ou mais inteiros), assim, podemos considerá-la como sendo mais uma representação de quantidade, ou seja, uma representação numérica, com ela podemos efetuar todas as operações como: adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação, radiciação.

Dessa forma, toda fração pode ser representada em uma reta numerada, por exemplo, 1/2 (um meio) significa que de um inteiro foi considerada apenas a sua metade, portanto, podemos dizer que em uma reta numerada a fração 1/2 estará entre os números inteiros 0 e 1.

Por ser uma forma diferente de representação numérica, a fração irá possui uma nomenclatura específica e poderá ser escrita em forma de porcentagem, números decimais (números com vírgula) e números mistos.

Assim, podemos concluir que o surgimento do número fracionário veio da necessidade de representar quantidades menores que inteiros, por exemplo, 1 bolo é um inteiro, mas se comermos um pedaço, qual seria a representação numérica que esse pedaço e o resto do bolo representaria? Foi a necessidade de criar uma representação numérica para as partes de um inteiro que proporcionou o surgimento dos números fracionários que iremos estudar nesta seção.
Por Danielle de Miranda
Graduada em Matemática